Số phức là gì, số phức lớp 12 gồm những dạng nào, phép tính nào?
Số phức là gì, số phức lớp 12 gồm những dạng nào, phép tính nào?
Số phức là gì, số phức lớp 12 gồm những dạng nào, phép tính nào?:Số phức là gì vậy, số phức công thức, các công thức số phức nâng cao, số phức nghĩa là gì, ứng dụng của số phức là gì? Hãy cũng Loigiai.org đi tìm câu trả lời ngay sau đây nhé.
Mục lục
Số phức là gì?
Số phức là biểu thức dạng a + bi trong đó a, b là số thực và i2=−1
Đối với số phức z = a + bi thì ta nói a là phần thực, b là phần ảo của z, i là đơn vị ảo.
Tập hợp các số phức kí hiệu là C
Nhận xét:
Đối với số phức z = a + bi thì ta nói a là phần thực, b là phần ảo của z, i là đơn vị ảo.
Tập hợp các số phức kí hiệu là C
Nhận xét:
- Mỗi số thực a đều được xem như là số phức với phần ảo b = 0
- Số phức z = a + bi có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo
- Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
Nên đọc: Số chính phương là gì, tính chất, ví dụ
Hai số phức bằng nhau là gì?
Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo tương ứng của chúng bằng nhau.
Số phức z = a + bi và z’ = c + di bằng nhau Leftrightarrow a = c và b = d
Ví dụ: tìm các số thực x, y biết (2x + 1) + 3yi = (x + 2) + (y + 2)i
Lời giải: Vì hai số phức bằng nhau nên {2x+1=x+23y=y+2
Suy ra x = 1, y = 1
Số phức z = a + bi và z’ = c + di bằng nhau Leftrightarrow a = c và b = d
Ví dụ: tìm các số thực x, y biết (2x + 1) + 3yi = (x + 2) + (y + 2)i
Lời giải: Vì hai số phức bằng nhau nên {2x+1=x+23y=y+2
Suy ra x = 1, y = 1
Mô đun của số phức là gì?
Giả sử M(a;b) là điểm biểu diễn số phức z = a + bi trên mặt phẳng tọa độ.
Độ dài của OM→ chính là mô đun của số phức z. Kí hiệu là |z|.
Ta có: |z|=|OM→| = |a+bi|=a2+b2−−−−−−√
Độ dài của OM→ chính là mô đun của số phức z. Kí hiệu là |z|.
Ta có: |z|=|OM→| = |a+bi|=a2+b2−−−−−−√
Số phức liên hợp là gì?
Cho số phức z = a + bi, ta gọi a – bi là số phức liên hợp của z và kí hiệu là z¯=a−bi
Ví dụ: z = 1 + 2i thì z¯=1–2i
Ví dụ: z = 1 + 2i thì z¯=1–2i
Một số tính chất của số phức liên hợp:
- là một số thực.
- =
- =
Nên đọc: Số nguyên tố là gì, số nguyên tố cùng nhau, cách tìm số nguyên tố
Biểu diễn hình học của số phức như thế nào?
Mỗi số phức z = a + bi được xác định được bởi cặp số thực (a; b)
Trên mặt phẳng Oxy, mỗi điểm M(a,b) được biểu diễn bởi một số phức và ngược lại.
Mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức. Gốc tọa độ O biểu diễn số 0, trục hoành Ox biểu diễn số thực, trục tung Oy biểu diễn số ảo.
Trên mặt phẳng Oxy, mỗi điểm M(a,b) được biểu diễn bởi một số phức và ngược lại.
Mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức. Gốc tọa độ O biểu diễn số 0, trục hoành Ox biểu diễn số thực, trục tung Oy biểu diễn số ảo.
Số phức lớp 12 gồm những dạng nào, phép tính nào?
Cộng trừ
Số đối của số phức z = a + bi là -z = -a – bi
Phép cộng và trừ hai số phức được thực hiện theo quy tắc cộng trừ đa thức
Cho z = a + bi và z’ = c + di.
Tổng quát: z + z’ = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
z – z’ = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i
Ví dụ: (5 + 2i) + (6 + i) = (5 + 6) + (2 + 1)i = 11 + 3i
(5 + 2i) – (6 + i) = (5 – 6) + (2 – 1)i = -1 + i
Phép cộng và trừ hai số phức được thực hiện theo quy tắc cộng trừ đa thức
Cho z = a + bi và z’ = c + di.
Tổng quát: z + z’ = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
z – z’ = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i
Ví dụ: (5 + 2i) + (6 + i) = (5 + 6) + (2 + 1)i = 11 + 3i
(5 + 2i) – (6 + i) = (5 – 6) + (2 – 1)i = -1 + i
4 cách viết phương trình tiếp tuyến lớp 12 phổ biến nhất
Phép nhân
Phép nhân số phức có tính chất như phép nhân số thực
Tổng quát: (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i
Ví dụ : (2 – 3i)(6 + 4i) = 12 + 8i – 18i – 12i2 = 12 + 18i – 8i + 12 = 24 – 10i
Tổng quát: (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i
Ví dụ : (2 – 3i)(6 + 4i) = 12 + 8i – 18i – 12i2 = 12 + 18i – 8i + 12 = 24 – 10i
Phép chia số phức
Số nghịch đảo của số phức z=a+bi≠ là z−1=1z=z¯|z|2
Hay 1a+bi=a–bia2+b2
Cho hai số phức z=a+bi≠ và z′=a′+b′i
Thì zz′=z′z¯|z|2
hay a′+b′ia+bi=(a′+b′i)(a–bi)a2+b2
Hay 1a+bi=a–bia2+b2
Cho hai số phức z=a+bi≠ và z′=a′+b′i
Thì zz′=z′z¯|z|2
hay a′+b′ia+bi=(a′+b′i)(a–bi)a2+b2
Ví dụ: Tìm z=4+2i1+i
Giải: Ta có z(1 + i) = 4 + 2i.
Nhân cả hai vế của phương trình trên với liên hợp của 1 + i là 1 – i ta được:
(1 + i)(1 – i)z = (1 – i)(4 + 2i)
=> 2z = 6 – 2i
=> z = 3 – i
Vậy: 3−i=4+2i1+i
Giải: Ta có z(1 + i) = 4 + 2i.
Nhân cả hai vế của phương trình trên với liên hợp của 1 + i là 1 – i ta được:
(1 + i)(1 – i)z = (1 – i)(4 + 2i)
=> 2z = 6 – 2i
=> z = 3 – i
Vậy: 3−i=4+2i1+i
Ứng dụng của số phức trong toán học
Sử dụng số phức vào giải hệ phương trình
Xét hệ phương trình {f(x;y)=g(x;y)(1)h(x;y)=k(x;y)(2)
Lấy (2) nhân i sau đó cộng/trừ (1) vế theo vế ta được:
f(x;y) + h(x;y)i = g(x;y) + k(x;y)i (*)
Đặt z = x + yi, biểu diễn (*) thông qua các đại lượng z, mô đun z…
Xét hệ phương trình {f(x;y)=g(x;y)(1)h(x;y)=k(x;y)(2)
Lấy (2) nhân i sau đó cộng/trừ (1) vế theo vế ta được:
f(x;y) + h(x;y)i = g(x;y) + k(x;y)i (*)
Đặt z = x + yi, biểu diễn (*) thông qua các đại lượng z, mô đun z…
Ví dụ: Giải hệ phương trình: ⎧⎩⎨⎪⎪x+3x–yx2+y2=3(1)y=x+3yx2+y2(2)
Giải: Lấy (2) nhân i sau đó cộng với (1) ta được:
x+yi+(3x−y)−(x+3y)ix2+y2=3
⇔x+yi+3(x–yi)x2+y2–(x−yi)ix2+y2=3(∗)
Đặt z = x + yi với x, y ϵR.
⇒(∗)⇔z+(3–i)z¯|z|2=3⇔z+(3–i)z=3
⇔ z = 2 + i hoặc z = 1 – i
x+yi=2+i⇔{x=2y=1
x+yi=1–i⇔{x=1y=−1
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là: (x;y) = (2;1), (x;y) = (1,-1)
Giải: Lấy (2) nhân i sau đó cộng với (1) ta được:
x+yi+(3x−y)−(x+3y)ix2+y2=3
⇔x+yi+3(x–yi)x2+y2–(x−yi)ix2+y2=3(∗)
Đặt z = x + yi với x, y ϵR.
⇒(∗)⇔z+(3–i)z¯|z|2=3⇔z+(3–i)z=3
⇔ z = 2 + i hoặc z = 1 – i
x+yi=2+i⇔{x=2y=1
x+yi=1–i⇔{x=1y=−1
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là: (x;y) = (2;1), (x;y) = (1,-1)
Dạng lượng giác của số phức là gì?
Trong mặt phẳng phức cho số phức z với z≠ được biểu diễn bởi vector OM→ với M(a;b).
Góc lượng giác (Ox→,OM→)=φ+2kπ,kϵZ
Số đo của mỗi góc lượng giác trên được gọi là một acgumen của z.
Gọi φ là một acgumen và r > 0 là mô đun của số phức z = a + bi khác 0 dạng lượng giác của z là:
z=r(acosφ+isinφ)
Với r=a2+b2−−−−−−√
và φ định bởi cosφ=ar và sinφ=br
Ghi chú:
Góc lượng giác (Ox→,OM→)=φ+2kπ,kϵZ
Số đo của mỗi góc lượng giác trên được gọi là một acgumen của z.
Gọi φ là một acgumen và r > 0 là mô đun của số phức z = a + bi khác 0 dạng lượng giác của z là:
z=r(acosφ+isinφ)
Với r=a2+b2−−−−−−√
và φ định bởi cosφ=ar và sinφ=br
Ghi chú:
- |z| = 1 ⇔ z=(cosφ+isinφ), φ∈R
- z = 0 thì |z| = r = 0 nhưng acgumen của z không xác định xem như tùy ý.
Nhân chia số phức ở dạng lượng giác:
Cho z=r(cosφ+isinφ), z′=r′(cosφ′+isinφ′) (r >0, r’ >0)
z.z′=r.r′(cos(φ+φ′)+isin(φ+φ′))
zz′=rr′[cos(φ−φ‘)+isin(φ−φ‘)]
khi r > 0
Cho z=r(cosφ+isinφ), z′=r′(cosφ′+isinφ′) (r >0, r’ >0)
z.z′=r.r′(cos(φ+φ′)+isin(φ+φ′))
zz′=rr′[cos(φ−φ‘)+isin(φ−φ‘)]
khi r > 0
Tóm lại: Số phức là ggi2? Số phức ứng dụng nhiều trong toán học, dưới dạng một biểu thức. Số phức là biểu thức dạng a + bi trong đó a, b là số thực và i2=−1